简介
在年，
ConstantinoTsallis
提出了Boltzmann-Gibbs-Shannon统计力学的泛化[1]，其中，他提出了
非广延熵
的概念。
熵的泛化的一个重要推论似乎是新分布类型的存在[2]，这些分布类型在新的统计力学中扮演着关键角色：
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研究表明，这些分布类型可用于描述具有长期记忆的系统、长期作用力的系统以及强相关性系统内的大量经验数据。
熵与信息密切相关[7]。参考文献[8-9]介绍了基于信息的统计力学泛化理论。经证明，新的非广延统计力学对经济也非常有用[10-17]。例如，
Q-Gaussian
分布充分描述了金融工具报价增量分布的宽翼（尾）(q~1.5)。据说，金融时间序列的大多数增量分布在较大的期间（月、年）上转换为正态分布(q=1)[10]。
很自然地，期待统计力学的此类泛化会推出与q-Gaussian分布的中央极限定理类似的定理。但是参考文献[18]指出这是错的——强相关随机变量之和的极限分布在分析上与q-Gaussian不同。
然而，另一个问题又出现了：研究表明，发现的精确解的数值非常接近Q-Gaussian（“在数字上类似，在分析上不同”）。为了分析函数之间的差异并得出Q-Gaussian分布的最佳参数，在参考文献[18]中使用了一个级数展开。这些函数的关系导致表示系统非广延性程度的q参数的按幂展开。
应用统计的主要问题是接受
统计假设
的问题。长期以来它被视为一个无法解决的问题[19-20]，需要特殊的工具（例如电子显微镜），使用现代应用统计方法，能够精准预测可能的走势。
参考文献[21]介绍的本征坐标法让赫兹量化能够达到更加深入的水平——函数关系的结构化属性的分析。这个非常优秀的方法能用于解决各种各样的问题。参考文献[22]说明了与以上非广延分布相对应的函数的算子展开。
本文将介绍本征坐标法及其具体运用的例子。它包含很多公式，这些公式对理解方法的本质非常重要。在重复所有计算之后，您将能够为您感兴趣的函数描绘函数展开。
1.计量经济学中的Q-Gaussian
Q-Gaussian分布在计量经济学中扮演着一个非常重要的角色[4,10-17]。
为了一般性地理解当前研究水平，读者可以参考ClaudioAntonini博士的著作《q-GaussiansinFinance》[23]（金融中的q-Gaussian）和《TheUseoftheq-GaussianDistributioninFinance》[24]（在金融中运用q-Gaussian分布）。
让赫兹量化简要说明一下主要的结果。
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图1.科学法（幻灯片4“在金融中运用q-Gaussian分布”）
图2列出了金融时间序列的主要内容：
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图2.金融时间序列的属性（幻灯片3“在金融中运用q-Gaussian分布”）
很多用于描述金融时间序列的理论模型得出Q-Gaussian分布：
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图3.理论模型和Q-Gaussian（幻灯片27“在金融中运用q-Gaussian分布”）
Q-Gaussian分布也用于报价分布的现象性描述：
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图4.SP每日回报的抽样分析（幻灯片8“在金融中运用q-Gaussian分布”）
使用真实数据带来函数识别的问题：
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图5.分布函数识别的问题（幻灯片14“金融中的q-Gaussian”）
ClaudioAntonini博士的两篇论文都强调为了建立恰当的物理过程模型而正确识别函数的重要性：
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图6.“金融中的q-Gaussian”和“在金融中运用q-Gaussian分布”得出的结论（ClaudioAntonini博士分别于年和年发表）
在金融中运用q-Gaussian统计的例子（工作表+MathCad文件）：
q-GaussianStockPriceDynamics（q-Gaussian股票价格动态）（MichaelEnglish，）q-GaussianEuropeanOptions（q-Gaussian欧式期权）（MichaelEnglish，）q-GaussianRandomDeviatesDistribution（q-Gaussian随机偏差与分布）（MichaelEnglish，）q-GaussianPortfolios（q-Gaussian投资组合）（MichaelEnglish，）q-GaussianRiskMeasures（q-Gaussian风险衡量）（MichaelEnglish，）ExpectedValueValueatRiskforLognormalAsset（对数正态分布资产的期望值与风险值）（MichaelEnglish，）
2.本征坐标
本征坐标展开如下所示：
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其中C1…CN为常量，X1(t),..,XN(t)为“本征坐标”。
赫兹量化此类线性展开非常方便，经常在数据分析中使用。例如，一个指数函数在对数刻度上转换为直线（可以使用线性回归轻松地计算其斜率）。因此，无需为了确定函数参数而进行非线性优化（拟合）。
然而，在处理更加复杂的函数（例如两个指数函数之和）时，对数刻度能提供的帮助极少-函数将不会作为一条直线出现。并且为了确定函数系数，需要进行非线性优化。
存在能够用几个函数解释经验数据一样棒的情形，所有这些函数对应于不同的物理过程模型。到底选择什么函数？哪个函数能够对经验数据反映的真实情况进行更充分的解释？
正确的函数识别对复杂系统（例如金融时间序列）的分析至关重要-每一种分布对应于某个物理过程，并且我们将能够更好地了解复杂系统的动态和一般属性，该系统具有选定的恰当模型。
应用统计[19,20]表明，不存在用于拒绝错误统计假设的标准。本征坐标法抛出了有关这个问题（接受假设）的全新观点。
用于描述经验数据的函数可被视为某个微分方程的解。其形式确定本征坐标展开的结构。本征坐标展开的一个特征是函数Y(t)生成的所有数据在函数Y(t)的本征坐标基X1(t)..XN(t)中在结构上是线性的。任何其它函数F(t)生成的数据在这个基中将不再作为一条直线出现（它们在函数F(t)的本征坐标基中将呈线性）。此事实能够用于精确地识别函数，因此非常有利于统计假设的处理。